Polinomi, kas ģenerē pirmskaitļus

Kā Arturs Klarks izfantazēja, un Staņislavs Ulams atklāja pirmskaitļu spirāli - http://mathworld.wolfram.com/PrimeSpiral.htm

Pa polinomiem, kas ģenerē pirmskaitļus - http://mathworld.wolfram.com/Prime-GeneratingPolynomial.html

Sk. arī http://www.maa.org/editorial/mathgames/mathgames_07_17_06.html - ko šai problēmā ir sasnieguši programmētaju konkursa dalībnieki.

Teksts, ko biju sacerējis pirms diviem gadiem:

Ir zināms, ka eksistē polinoms ar veseliem koeficientiem, kurā ir ne vairāk kā 59 mainīgie, kura pakāpe nepārsniedz 8, un kura pozitīvo vērtību kopa ir vienāda ar visu pirmskaitļu kopu. Sk. http://www.ltn.lv/~podnieks/gt4a.html#BM4_8 un http://www.ltn.lv/~podnieks/gt4.html#e44.

Šādā nozīmē var teikt, ka eksistē polinoms, kas ģenerē pirmskaitļus (pat visus!). Tiesa, šī polinoma mainīgo skaits ir ļoti liels, un vēl lielāki izrādās tā koeficienti.

[Starp citu, tikpat sarežģīts ir arī polinoms, kas ģenerē visas divnieka pakāpes.]

Vienkāršie polinomi (ar vienu, diviem, trim mainīgajiem un ne pārāk lieliem koeficientiem), droši vien, nespēs ģenererēt visus pirmskaitļus. Bet ko tie spēj? Vai daži no tiem spēj ģenerēt samērā daudzus pirmskaitļus? Piemēram, cik sarežģīts ir polinoms, kuram to vērtību kopa, kas atrodas starp 0 un 10, ir {2, 3, 5, 7}? Līdzīgi - cik sarežģīts ir polinoms, kura to vērtību kopa, kas atrodas starp 0 un 20, ir {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19}?

[Līdzīgus jautājumus varam uzdot arī divnieka pakāpju gadījumā.]

Eksperimenti varētu dot atbildes uz šiem jautājumiem (un izvirzīt jaunus...).

Turpinājums sekos.