English      Po-russki     Serbian     Personīgā lapa

Prinstonā, 1950

Kas īsti ir matemātika?

Kārlis Podnieks

Lekcija 2005.gada 9.decembrī

(C) K. Podnieks, 2005


Attēls no MacTutor History of Mathematics archive - Godel Portraits

 

-------------------------------------------------Noregulē savas pārlūkprogrammas loga platumu!--------------------------------------

 

Ko šis jautājums nozīmē?

Autortiesības uz šīs lekcijas nosaukumu pieder Reuben Hersh:

R. Hersh. What is Mathematics, Really? The philosophy of mathematics, including its history from Pythagoras to the present. Oxford University Press, 1997

Mēģināsim atbildēt uz šādiem jautājumiem:

1) Vai matemātika ir parasta "paralēla" zinātņu nozare (līdzīga fizikai, ķīmijai, bioloģijai utt.), vai arī tās pozīcija citu zinātņu vidū ir pavisam īpaša - "perpendikulāra"?

2) Kāpēc matemātikas izmantošana fizikā, citās zinātnes nozarēs un tehnikā ir tik fantastiski efektīva?

 

Ko par matemātiku domā paši matemātiķi?

Stāstot matemātiķiem par matemātikas filosofiskajiem jautājumiem, parasti no viņu puses nereti jūtama ironija...

"Mathematik ist das, was kompetente Leute darunter verstehen."
"Matemātika ir tas, ko ar to saprot kompetenti cilvēki."
(šis izteiciens tiek piedēvēts
Dāvidam Hilbertam).

Zemteksts: matemātiķi vienmēr gribēs paši būt tā pēdējā instance, kas "tiesās" jebkuru matemātikas filosofisko koncepciju. T.i. matemātikas neapzināti rituālais aspekts (sk. tālāk) te tiek izvirzīts priekšplānā.

Īstenībā, neviens cilvēks, kurš nav mēģinājis savu filosofiju uzrakstīt, kā domātājs nav ņemams nopietni.

Ja Jūs nosapņojat, ka esat izdarījis ģeniālu atklājumu, tad pēc pamošanās, mēģinot atcerēties, parasti (ja vispār...) nāk prātā tikai kāda nesaprotama uzmācīga frāze, piemēram, "Mazuki v skipidare prisevajut." (Staņislavs Lems, krievu tulkojums). Matemātiķu personīgās "matemātikas filosofijas" lielākoties ir no šīs "nozares".

 

Matemātika kā sociāla parādība

Mēs varētu mēģināt sākt savu pētījumu "Kas īsti ir matemātika?" ar kaut ko neapšaubāmu: vispirms aplūkot matemātiku kā sociālu parādību. Ko tad mēs redzam:

1) Ir cilvēki, kuru vairākums nēsā brilles, bet nenēsā kaklasaites, un kuri sauc sevi par matemātiķiem.

2) Universitātēs ir matemātikas studiju programmas un matemātikas katedras. Ir iespējams iegūt matemātiķa izglītību. Izpildot noteikta rituāla prasības, var aizstāvēt disertāciju, kļūstot par matemātikas doktoru un profesoru.

3) Izpildot noteikta rituāla prasības, var cerēt saņemt valsts Eiropas, ASV utt. finansējumu matemātiskiem pētījumu projektiem.

4) Tiek rīkotas matemātikas konferences un tiek izdoti matemātikas zinātniskie žurnāli. Izpildot noteikta rituāla prasības, var kļūt par šo konferenču dalībnieku un publikāciju autoru. Un beidzot, internetā var atrast ļoti daudz materiālu, kas tiek uzskatīti par matemātiskiem.

Ko tāds raksturojums vispār dod? Arī visas citas zinātņu nozares taču ir tādas pat sociālas parādības!

Tomēr, te ir vairāk patiesības nekā paši matemātiķi to gribētu atzīt...

 

Matemātika - sociāls rituāls?

Philip J. Davis 1972.gadā pirmais nopietni noformulēja hipotēzi: daudzas lietas, ko matemātiķi uzskata par neapšaubāmi pierādītām, īstenībā nemaz tik drošas nav:

Davis, P. J. Fidelity in mathematical discourse: Is one and one really two? American Mathematical Monthly, 1972, 79(3):252–263.

"As we get away from trivial sums, arithmetic operations are enveloped in a smog of uncertainty. The sum 12345 + 54321 is not 66666. It is not a number. It is a probability distribution of possible answers in which 66666 is the odds-on favorite."

Vēlāk Davis kopā ar Reuben Hersh šo hipotēzi attīstīja tālāk. Viņu koncepcijā šis matemātikas sociālā rituāla aspekts tiek pasludināts par būtisku un neizbēgamu. Sk. piemēram:

Philip J. Davis and Reuben Hersh. Rhetoric and mathematics. In J. S. Nelson, A. Mcgill & D. N. McCloskey (Eds.), The rhetoric of the human sciences. Madison: University of Wisconsin, 1987, pp. 53-69.

"In the real world of mathematics, a mathematical paper does two things. It testifies that the author has convinced himself and his friends that certain "results" are true, and presents a part of the evidence on which this conviction is based. [Šo ironiju tā pa īstam sapratīs tikai "īsti" matemātiķi.]

... The myth of totally rigorous, totally formalized mathematics is indeed a myth."

Mēs varam nepiekrist šim vērtējumam. Varam uzskatīt to par pārspīlējumu un par nepelnītu apvainojumu matemātikai, ka tā nav vis "objektīva zinātne", bet tikai īpašs sociāls rituāls, no kura zināma cilvēku grupa gūst baudu un labumu. Un tomēr, Deivisa-Herša koncepcijā ir daudz vairāk patiesības nekā matemātiķi to gribētu atzīt...

Protams, mēs varētu ignorēt tos gadījumus, kad kādas idejas likteni (vismaz sākumā) nosaka nevis tās vērtīgums, bet tie cilvēki, kuriem akadēmiskajā vidē ir lielāka "teikšana". Šādos gadījumos matemātikas specifika nav nemaz tik liela...

 

Matemātika uz cilvēka spēju robežas

Bet šī rituāla problēma kļūst sevišķi nopietna, kad sastopamies ar vissarežģītākajiem matemātiskajiem pierādījumiem, kādi vēsturē ir bijuši.Vai, risinot arvien sarežģītākas matemātikas problēmas, mēs netuvojamies cilvēka spēju robežai?

Kad Andrew Wiles 1993.gadā, pēc 7 gadu darba, gatavoja publicēšanai savu Lielās Fermā teorēmas pierādījumu, viņš atklāja, ka pierādījumā ir būtiska kļūda. Un tikai pēc vairāku mēnešu izmisīgas cīņas 1994.gada 19.septembrī viņš atrada ideju, kas problēmu atrisināja līdz galam.

Vai mūsu pārliecība, ka šajā ļoti sarežģītajā pierādījumā nav kļūdu, ir tikpat droša kā pārliecība, ka nav kļūdu Pitagora teorēmas pierādījumā?

Un šādas situācijas matemātikā tagad atkārtojas arvien biežāk. Ir bijuši izsludināti jau vairāki Rīmana hipotēzes, dvīņu pirmskaitļu hipotēzes un citu slavenu ilgi neatrisinātu problēmu atrisinājumi, kuros pēc tam tiek atrastas kļūdas. Pēc kļūdas labojuma atkal tiek atrasta nākošā kļūda utt.

Tas, protams, nenozīmē, ka dažas no šīm slavenajām problēmām kādreiz netiks atrisinātas tādā veidā, ka ... to atzīs speciālistu vairākums? Bet, vai vienmēr visi? [Pārlasīsim tagad vēlreiz Deivisa-Herša citātu.]

Tātad objektīvi matemātika ir pietuvojusies sarežģītības robežai, kur cilvēkam bez datoru palīdzības uz priekšu netikt. Neticēsiet?

 

Četru krāsu teorēma: dator-matemātika?

Teorēma. Jebkurā ģeogrāfijas kartē valstis var izkrāsot ar 4 krāsām tā, ka valstis ar kopīgu robežu vienmēr būs dažādās krāsās.

Sk. http://mathworld.wolfram.com/Four-ColorTheorem.html.

Kā hipotēze šī teorēma bija bija noformulēta jau 1852.gadā, bet pierādīt to izdevās tikai 1976.gadā (Wolfgang Haken, 1928, Kenneth Appel, 1932, biogrāfijas).

Savam pierādījumam Hakens un Appels četros gados patērēja 1200h (70-to gadu!) datorlaika, izanalizējot 1476 konkrētus grafus. Cilvēks šādu analīzi veikt nespētu - un ne tikai lielā kopējā apjoma dēļ, bet arī atsevišķo gadījumu sarežģītības dēļ. Tāpēc, pēc pierādījuma publikācijas citi matemātiķi nevarēja, kā parasti, pārbaudīt tā korektību. Sākās pat diskusijas par to, vai tāds pierādījums ir "īsta matemātika".

Kopš 1976.gada četru krāsu teorēmas pierādījums ir uzlabots, samazinot dator-pārlases apjomu līdz 633, bet cilvēkam šī pārlase joprojām paliek nepieejama.

Sk. The Four Color Theorem, 1995, Robin Thomas.

Un beidzot, 2004.gadā vislabākais no zināmajiem pierādījumiem (ar visu pārlases programmu) tika formalizēts un tā korektība tika pārbaudīta ar universālas datorprogrammas (Coq proof checking system) palīdzību.

A computer-checked proof of the Four Colour Theorem, 2004, Georges Gonthier.

Tas viss tomēr nemaina situācijas būtību: četru krāsu teorēmas pierādījums joprojām paliek cilvēkam nepieejams - mēs jautājam datoram, tas atbild, bet atbildes pamatojums mums paliek līdz galam nesaprotams- pat, ja dators to mums izdrukā.

 

Dator-matemātika un "cilvēku matemātika"?

Tātad, iesaistot datorus, cilvēces matemātisko spēju robeža tiek atbīdīta tālāk. Vai arī šim procesam būs kāda robeža, vai parādīsies jaunas grūtības? Un kāda būs šī jaunā, cilvēkam tikai daļēji pieejamā matemātika?

Doron Zeilberger: Tagad šahisti-cilvēki var sacensties tikai savā starpā, vairs necerot uzvarēt labākās dator-programmas. Tā arī nākotnes matemātikā: matemātiķi-tikai-cilvēki (kuri atteiksies no datoru palīdzības) varētu palikt tikai amatieru lomā. [Ironija par tiem matemātiķiem, kuri teorēmas, kas pierādītas ar datoru atbalstu vērtē zemāk nekā "tikai cilvēku" pierādītās teorēmas.]

Interesantākie Z sacerējumi:
1)
THEOREMS FOR A PRICE: Tomorrow's Semi-Rigorous Mathematical Culture, 1993
2)
"Real" Analysis is a Degenerate Case of Discrete Analysis, 2001
3)
Opinion #57, 2003

Tātad, patīk tas mums vai nepatīk, bet Deivisa-Herša koncepcija ir nopietns ieguldījums matemātikas būtības izpratnē - tā fiksē neizbēgamo: ar laiku matemātikas problēmu sarežģītība pārsniegs cilvēka iespējas, un šai situācijai mums vajadzēs kaut kā pielāgoties. Tas ir nopietnāk nekā mēs to gribētu.

 

Matemātika kā "parasta" zinātnes nozare?

Matemātika, protams, ir zinātnes nozare, kaut vai institucionāli. Tādas ir arī fizika, ķīmija, bioloģija, vēsture, ekonomika utt.

Katrā zinātnes nozarē saskatīt zināmu rituālo aspektu. Bet dabas un sociālajās zinātnēs darbojas neietekmējams "regulators" - ārpus pētnieka pastāvošs pētījumu priekšmets.

Vairums zinātnes nozaru pētī katra savu priekšmetu - kādu daļu no pasaulē novērojamām parādībām. Un tāpēc te jebkādām pārāk "drosmīgām" fantāzijām agrāk vai vēlāk pienāk gals. Piemēram, vai bioloģijā ir bijuši mēģinājumi pētīt iedomātas, reāli neeksistējošas būtnes? [Ja ir bijuši - tad tas noteikti bijis saistīts ar matemātisku modeļu izmantošanu...]

Vai matemātika ir "viena no" tādām priekšmet-nozarēm? Vai arī - matemātikas pozīcija citu zinātņu starpā ir pilnīgi savādāka ("perpendikulāra" pret pārējo zinātņu "plakni")?

Līdz neeiklīda ģeometriju izgudrošanai (1820-tie gadi) matemātiku tiešām varēja droši uzskatīt par "vienu no". Piemēram, Eiklīda ģeometriju varēja uzskatīt par absolūti nekļūdīgu reālās telpas "fiziku".

Materiālisti un marksisti šo koncepciju mēģināja uzturēt līdz pat mūsu dienām, sludinot, ka matemātikas priekšmets ir reālās pasaules kvantitatīvās attiecības. Pie tam kvantitāti viņi centās nodefinēt ļoti vispārīgi - kā to darīja G. Hēgelis: kvantitatīvais ir "atcelta" kvalitāte, kaut kas kvalitātei "vienaldzīgs". Tādā veidā zem šīs definīcijas var "pabīdīt" ne tikai ģeometriju, aritmētiku un analīzi, bet arī abstrakto algebru, topoloģiju utt. [F. Engelss, J. Staļins un A. Kolmogorovs]

 

Matemātika - tomēr "perpendikulāra" zinātnes nozare?

Bet matemātikā laikam tomēr ir kaut kas tāds, kas jau senajos laikos vismaz dažiem cilvēkiem licis domāt, ka tā nav gluži parasta zinātnes nozare.

Platons skaidroja matemātikas īpašo stāvokli citu zinātņu vidū ar savas "ideju pasaules" un "lietu pasaules" koncepcijas palīdzību. Pirms cilvēka piedzimšanas viņa dvēsele dzīvo "ideju pasaulē", un pēc tam - savas dzīves laikā, nodarbojoties ar matemātiku, cilvēks vienkārši atceras to, ko viņa dvēsele ir iemācījusies "ideju pasaulē". [T.i. neko jaunu matemātiķi neizgudro - viņi "pēc atmiņas" pētī gatavas struktūras.]

17.gadsimts, V. Leibnics: matemātikā īpašs ir nevis tās priekšmets, bet metode - nevis tas, ko mēs pētām ,bet mēs to darām. [???]

More than anything else mathematics is a method.
Morris Kline

Though this be madness, yet there is method in't.
Polonius, "Hamlet"

18.gadsimts, I. Kants par sintētisko apriori: Eiklīda ģeometrija esot apriora forma, ar kuras palīdzību cilvēka prāts sakārto sajūtas. Tiešām, Kanta laikā neviens nekādu citu telpas struktūru kā EĢ iedomāties nespēja. Lai šo fenomenu izskaidrotu, Kants situāciju apgrieza otrādi, apgalvojot, ka EĢ ir "vienīgā iespējamā" ģeometrija tāpēc, ka tā ir "no paša sākuma iebūvēta" cilvēka prātā.

 

Kā tādas idejas varēja rasties?

Kas tad matemātikā ir tāds, kas liek domāt par tās īpašo, "perpendikulāro" dabu, salīdzinot ar citām zinātnēm?

Sāksim ar vienu no pirmajām matemātikas teorēmām (- 6. gs.):

Teorēma. Aiz katra pirmskaitļa seko vēl kāds pirmskaitlis.

Pilnīga empīriska pārbaude te nav iespējama (jo naturālo skaitļu ir "bezgalīgi daudz"). Kā tad var iegūt pārliecību, ka šis apgalvojums ir patiess?

Pierādījums. Ja mums ir k pirmskaitļi p1, p2, ..., pk, tad skaitlis p1p2...pk+1 dalās ar pirmskaitli, kas nesakrīt ne ar vienu no pi. Q.E.D.

Kāpēc tāds pierādījums mūs pārliecina bez jebkādas empīriskas pārbaudes? Tāpēc, ka izvedam no "patiesām" aksiomām? Bet kā mēs zinām, ka pašas aksiomas ir "patiesas"? Piemēram, aritmētikas aksioma x+(y+1)=(x+y)+1?

Un vai naturālie skaitļi ir struktūra, ko mūsu aksiomas definē, vai arī šī struktūra pastāv neatkarīgi no mūsu aksiomām, un ar to palīdzību mēs tikai cenšamies šo struktūru kaut kā aprakstīt?

 

Platonisma problēma

Tests: vai Jūsu priekšstati par matemātiku ir platonisms? [Platonisms ir viens no populārākajiem matemātikas filosofijas virzieniem.]

Būvējam dvīņu pirmskaitļu virkni:

(3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61), (71,73), (101, 103), (107,109), (137, 139), (149, 151), (179, 181), (191, 193),
..., (1787, 1789), ..., (1871, 1873), ...,
(1931, 1933), (1949, 1951), (1997, 1999), (2027, 2029), ...

1849.gadā tika pieteikta hipotēze, ka šo pāru virkne ir bezgalīga. Bet šī hipotēze līdz pat šai dienai vēl nav ne pierādīta, ne apgāzta. Ko Jūs atbildētu uz šādu jautājumu"Vai Jūs uzskatāt, ka ir tikai divas iespējas:

a) Dvīņu pirmskaitļu virkne turpinās bezgalīgi.

b) Dvīņu pirmskaitļu virkne apraujas aiz pēdējā dvīņu pāra.

Vai nevarētu būt arī kāda trešā iespēja?

Ja Jūs trešo iespēju nevarat iedomāties, tad es tūlīt parādīšu, ka Jūsu priekšstati par matemātiku ir platonisms.

 

Par trešo iespēju

20.gadsimtā jau vairākas reizes ir konstatēta situācija, kad kāda matemātikas problēma izrādās neatrisināma.

Piemēram, slavenā kontinuum-problēma: vai eksistē reālo skaitļu kopas, kuru apjoms ir lielāks nekā naturālo skaitļu kopai, bet mazāks nekā visai reālo skaitļu kopai? Georga Kantora kontinuum-hipotēze (1878.gads): tādas kopas neeksistē.

1938.gadā Kurts Gēdels pierādīja, ka kontinuum-hipotēzes pievienošana kopu teorijas aksiomām nerada pretrunas.

1963.gadā Paul Cohen pierādīja, ka kontinuum-hipotēzei pretējā apgalvojuma pievienošana kopu teorijas aksiomām arī nerada pretrunas.

Tātad kopu teorijas aksiomas kontinuum-problēmu nespēj atrisināt.

Vai līdzīgi nevarētu gadīties ar dvīņu problēmu: aritmētikas aksiomas nespēj šo problēmu atrisināt? Šī ir tā pieminētā "trešā iespēja". Ko Jūs secinātu, ja kāds to tiešām pierādītu? Ka mūsu aksiomas naturālo skaitļu virkni apraksta nepilnīgi? Un ja tā, tad kas šī virkne ir?

 

Vai naturālo skaitļu virkne ir "dabas struktūra"?

Ņūtona laikos varēja domāt, ka ir:

Visuma telpa ir bezgalīga un izotropa (vienāda visur un visos virzienos), tāpēc, mērot to metros kādā noteiktā virzienā, mēs būsim spiesti "izmantot" visus naturālos skaitļus. Tātad naturālo skaitļu virkne ir "dabas struktūra", un tāpēc uz katru noteiktu jautājumu par šo virkni ir jāeksistē noteiktai atbildei - jā vai nē. Piemēram, uz jautājumu par dvīņu pāru skaitu.

Bet saskaņā ar tagad atzīto kosmoloģisko modeli, Visumā ir stipri mazāk kā 101000 elementārdaļiņu. Tātad, kaut arī aritmētika provocē mūs iedomāties virkni no 101000 daļiņām, dabā nekas tāds neeksistē. Vai tas neapdraud minēto viedokli, ka naturālu skaitļu virkne ir "dabas struktūra"? Vai šīs virknes bezgalīgums nav "piefantazēts klāt"?

Šīs idejas aprātīgu formulējumu sk.

http://www.math.rutgers.edu/~zeilberg/quotes.html:

"logloglog n has been proved to go to infinity, but has never been observed to do so."
--Anon., quoted by Carl Pomerance [ MAA invited talk, 1/21/2000]

 

Bezgalīgas struktūras dabā neeksistē?

Vai tiešām neeksistē? Īstenībā situācija ir sarežģītāka.

Kā ar daļiņu kombinācijām - pāriem trijniekiem utt.? Ja Visumā ir N daļiņu, tad daļiņu kopu skaits ir jau 2N, bet kopu kopu skaits - 2^2N utt. Tātad principā mēs varētu "palaist programmu" - skaitīšanas procesu, kurā vispirms tiktu skaitītas daļiņas, tad - to kopas, pēc tam - kopu kopas utt., nekad neatkārtojot nevienu jau reiz pieskaitītu kombināciju? Bet kopš "lielā sprādziena" ir pagājuši mazāk par 20*109 gadu (gadā ir 32*106 sec, tātad mazāk par 64*1016 sec). Pat ja mūsu programma katru soli veic 10-50 sec, iznāk, ka kopš "lielā sprādziena" tā ir paguvusi "saskaitīt" mazāk kā līdz 1068. Bet, ja mēs pamanītos šo procesu kaut kā "paralelizēt"?

Citas versijas:

Dažādo iespējamo Visuma stāvokļu skaits arī iznāk nožēlojami mazs... Paralēlisms: a) gaismas ātruma galīguma ietekme uz stāvokļu pārejas iespējām..., b) spontānas daļiņu pārvēršanās, sadalīšanās, apvienošanās utt. - stāvokļu saplūšana? Kvantu skaitļošana?

Vai ir iedomājama kaut cik stabila dabas struktūra, kas reprezentē skaitli 101000? Varbūt, decimālais pieraksts 10...0 (tūkstoš nulles) to reprezentē? Bet skaitli 10^10^1000 tā vairs nevar reprezentēt .

Un ja visas pieļaujamās reprezentācijas ir stringi fiksētā k burtu alfabētā, tad stringi garumā n var reprezentēt ne vairāk kā nk skaitļu. Tātad atradīsies skaitlis <nk, kuru nevarēs reprezentēt ar stringu garumā n.

Vēl par šo problēmu sk. http://podnieks.id.lv/gt1.html#entry2 un
David Isles. What Evidence is There That 2^65536 is a Natural Number?, 1992

Šajā rakstā ir vēl viena atbildes versija: a) Jebkuras fiksētas uzbūves skaitļošanas mašīnas iespējas ir ierobežotas laikā un telpā. b) Kad šī iespēju robeža ir sasniegta, tad jābūvē principiāli jauna veida mašīna. c) Šīs pārejas no iepriekšējā uz nākošo mašīnu veidu visos gadījumos nevar būt vienveidīgas [uniform].

Tātad līdz galam pārliecinošu atbildi ieguvuši mēs tā arī neesam. Un tomēr daudzi nopietni cilvēki uzskata, ka bezgalīgas struktūras dabā neeksistē, bet ko īsti tas nozīmē? Varat mēģināt piedalīties šīs problēmas risināšanā.

Hipotēze: kaut arī naturālo skaitļu bezgalīgā virkne ir radusies cilvēces praksē kā reālu skaitīšanas procesu abstrakcija, tā tomēr nav tiešs nevienas reālās pasaules struktūras atspoguļojums. Virknes bezgalīgā daļa ir vienkārši "piefantazēta klāt".

Bet ja ne dabas struktūra, tad kas šī virkne ir? Un kas ir visas pārējās - vēl sarežģītākās matemātiskās struktūras: reālie skaitļi, funkciju telpas, algebras, topoloģijas, nesanumurējamas bezgalīgās kopas, kategorijas utt.? Tās tad arī nav dabas struktūras?

 

Bezgalīgas struktūras dabā neeksistē - vēsture

Domu, ka bezgalības ideja būtiski atšķiras no tā, kas reāli eksistē Visumā, izteica jau Dāvids Hilberts savā 1925.gada 4. jūnija lekcijā "Par bezgalīgo":

D. Hilbert. Ueber das Unendliche. "Math. Annalen", 1925, Vol.95, pp.161-190.

Mūsdienīgā izskatā šo problēmu formulēja 1955. gadā David van Dantzig:

D. van Dantzig. Is 10^10^10 a finite number? "Dialectica", 1955, vol.9, N 3/4, pp. 273-278.

Digitālā filosofija un fizika - ideja, ka Visums ir "šūnveida struktūra, kas rēķina":

Konrad Zuse. Rechnender Raum (1967)

Edward Fredkin. Digital Philosophy

Stephen Wolfram. A New Kind of Science (2002)

Joel Dobrzelewski, Plamen Petrov. Digital Physics

Šim virzienam gan ir maz piekritēju...

 

Platonisma problēma - turpinājums

Ja Jūs nepieļaujat "trešo iespēju", tad Jūs uzskatāt, ka matemātikas objekti eksistē neatkarīgi no matemātiķu aksiomām, kas tos mēģina definēt. Ja izrādītos, ka zināmās aritmētikas aksiomas nevar atrisināt dvīņu problēmu, tad Jūs secinātu, ka šīs aksiomas nepietiekami labi apraksta naturālos skaitļus?

Bet ja naturālo skaitļu bezgalīgā virkne "dabā neeksistē", tad kas tā ir par mistisku struktūru, kuru mūsu aksiomas nav pratušas līdz galam aprakstīt?

Platonisti (matemātikas filosofijas īpašs virziens) uzskata, ka matemātiskās struktūras ir kāda "trešā realitāte", kura eksistē neatkarīgi gan no dabas, gan no cilvēka saprāta, bet kas šim saprātam kaut kādā veidā ir pieejama. Arī naturālo skaitļu bezgalīgo virkni platonisti uzlūko kā tādu "trešo realitāti" - kurā uz jautājumu par dvīņu pāru skaitu var būt tikai divas atbildes (pāru virkne vai nu apraujas, vai arī turpinās bezgalīgi).

Diskusija par šo dīvaino jautājumu (eksistē tāda "trešā realitāte", vai neeksistē?) neskaitās pabeigta. Ir cilvēki, kuri uzskata, ka XXI gadsimtā platonisms ir muļķīga filosofija - ka tas ir nepietiekami drosmīgu domātāju patvērums. Bet ir arī cilvēki, kuri savu platonisko orientāciju pilnīgi nopietni aizstāv, un viņiem ļauj strādāt universitātēs un publicēties zinātniskos žurnālos.

 

Formālisma filosofija

Platonistu kritiķus parasti sauc par formālistiem. Viņi uzskata, ka bezgalīgās matemātiskās struktūras nav atdalāmas no aksiomām, kas tās būtībā definē (nevis apraksta kā kaut atsevišķi no aksiomām eksistējošu). Aksiomu dziļākais pamats ir cilvēku praktiskā, tehniskā un zinātniskā pieredze, bet tās iet tālāk par šo ierobežoto pieredzi - ekstrapolē, nogludina vai citādi idealizē. Rezultātā rodas struktūras, kas kam dabā precīzu analogu nav (bet pašas aksiomas, protams, dabā eksistē).

No šī viedokļa, aritmētikas vai kopu teorijas aksiomas naturālo skaitļu virkni nevis apraksta, bet definē. Naturālo skaitļu virkne IR šīs aksiomas. Un ja aksiomas (varbūt) nespēj atrisināt dvīņu problēmu, tad ar to jāsamierinās, vai arī jāmēģina aksiomas papildināt (vai modificēt?).

 

Platonisma pozitīvā loma matemātikā

Matemātiķu instinktīvā platoniskā attieksme pret savām struktūrām, manuprāt, nav nejaušība. Manuprāt, cilvēkiem platonisms ir visefektīvakais veids kā strādāt ar izdomātām struktūrām: iztēloties, piemēram, naturālo skaitļu virkni, par "realitāti", kurā (kā jau tas mūsu ikdienas realitātē ierasts) katrs noteikts apgalvojums obligāti ir vai nu patiess vai aplams.

Šāda attieksme stimulē darbu pie vissarežģītākajām problēmām neatkarīgi no tā, vai tās ir atrisināmas, vai nav. Matemātiķi var gadiem ilgi dzīvot savās struktūrās kā īpašā pasaulē, nedomājot par to, ko šīs struktūras nozīmē. Tādā veidā viņi ir iemācījušies iegūt maksimāli daudz secinājumu no minimālām premisām. Manuprāt, tieši te ir izskaidrojums matemātikas fantastiskajai efektivitātei citās zinātnēs.

Tātad platonisms cilvēku matemātikā ir gandrīz vai pamat-metode.

Problēma. Bet roboti un datori - vai arī tie nevarētu iemācīties "domāt platoniski"? Ko tas nozīmētu? [Un vai roboti var kļūt ticīgi? Sk. S. Lema grāmatu "Summa technologiae".]

Detalizētāk par manu koncepciju sk. grāmatas "Kas ir matāmātika: Gēdela teorēma" pirmo nodaļu - http://podnieks.id.lv/gt1.html

 

Matemātiskie modeļi

Tā matemātikas filosofiskā koncepcija, ko es šodien te gribētu propagandēt, balstās uz matemātiskā modeļa jēdzienu. Modelēšana, protams, ir jebkuras zinātnes nozares mērķis. Es pat teiktu, katra zinātnes nozare ir zinātne par tik, par cik tā modelē. Dažas zinātnes modelē pašu modelēšanas procesu, piemēram, filosofija - manā ierobežotā izpratnē.

Izrādās, ka matemātikai pret modeļiem ir pavisam īpaša attieksme.

Datoriķiem modeļa jēdziens laikam nav īpaši jāskaidro... Modelis ir objekts, ko izmanto cita objekta ("oriģināla") vietā, lai progrozētu tā izturēšanos.

Robotu programmēšana un modeļi. Robota smadzenēs nav dvēseles, tur var būt tikai modeļi.

Pati modeļa ideja bija zināma Nikolajam Lobačevskim jau 1820s gados, kad viņš ar astronomisku mērījumu palīdzību mēģināja "identificēt" reālās telpas īsto ģeometriju. [Viņam bija zināmas jau 2 ģeometrijas - nevis viena kā Kantam - un tad viņam radās jautājums: kura no abām ir reālās telpas ģeometrija?]

Bioloģijā: šūnas modeļi, attīstība, jaunas eksperimentālas informācijas atspoguļošana utt. Bet ja jaunas informācijas plūsmu pārtrauc un pasludina, ka tagad mēs pētīsim modeli, kāds tas ir šobrīd? Tad es teiktu, ka modelis kļūst par matemātisku modeli.

Kas tad ir matemātiskie modeļi? Kā "parādības" tie ir modeļi, kas izveidoti ar matemātisku struktūru palīdzību. Bet kāda ir to precīzā atšķirības pazīme?

Es teiktu: matemātiskie modeļi ir īpaši ar to, ka tie ir atrauti no saviem "oriģināliem". Tos var pētīt (pat gadiem ilgi, aizstāvot n disertācijas!), vairs nevēršoties pie "oriģināliem". Te es saskatu precīzi definējamu atšķirības pazīmi, kas ļauj atšķirt matemātiskos modeļus no ne-matemātiskiem.

Tātad nevis kāds specifisks priekšmets atšķir matemātiku no citām zinātnēm, bet specifiska metode - veidot modeļus, kas atraujami no modelējamiem objektiem. Tātad Leibnicam bija taisnība?

Iespēja patvaļīgi modificēt modeli, izjaukt tā atbilstību oriģinālam. [Sabojāt klašu diagrammu...] Un pētīt tādu modeli gadiem ilgi... (Lobačevskis un kolēģi). Tā bija pilnīgi jauna parādība zinātnē. Citās zinātnēs tas nav iespējams... Matemātikā šādas iespējas ir "pēc definīcijas", un tās rada arī negatīvas parādības - neauglīgus pētniecības virzienus, kur tiek pētīti modeļi, kuri nekad netiks izmantoti kaut kādam derīgam mērķim. Svarīgi apzināties, ka šo negatīvo parādību pamatā ir pats pamatprincips - iespēja matemātisko modeli atraut no "oriģināla" un pētīt modeli, pašu "oriģinālu" ilgu laiku ignorējot, un beidzot - izmainīt modeli tā, ka tas nekādam "oriģinālam" vairs neatbilst.

 

Datubāzes kā matemātiski modeļi?

Kādas uzņēmuma datubāze neapšaubāmi ir šī uzņēmuma modelis. Jo pilnīgāka datubāze, jo pilnīgāks ir modelis (jo labāk to var izmantot kā paša uzņēmuma aizvietotāju, piemēram, audita vajadzībām, vai statistiskām atskaitēm).

Atbilstoši manai definīcijai, datubāze kļūs par matemātisku modeli, ja mēs to "atrausim" no paša uzņēmuma un nodarbosimies ar datubāzi kā pilnīgi patstāvīgu objektu.

Piemēram, matemātiska pieeja iedzīvotāju reģistram: ja Tevis reģistrā nav, tad tā nav reģistra kļūda, bet Tu pats esi kļūda!

Datubāzes atrautības dēļ no "oriģināla" to ir viegli pārveidot un pat sabojāt - visdažākos nolūkos. Rezultātā viegli var iegūt veidojumu, kam ar realitāti nav nekāda sakara (nu, gluži kā matemātikā...).

Vai šādas datubāzes principiāli atšķiras no Saule sistēmas planētu kustības modeļiem (kas bez šaubām ir atzīti par matemātiskiem modeļiem)?

 

Formālie modeļi vai matemātiskie?

Droši vien, visi piekritīs, ka modeļi, kas ir atrauti no saviem "oriģināliem" (stable, self-contained models) veido svarīgu modeļu klasi. Bet, varbūt, šo klasi publika labprātāk nosauks par formāliem modeļiem, domājot, ka "īsti" matemātiskie modeļi ir kas cits - "smalkāks" (subtle)?

Varbūt, datubāzes mēs labprāt piekritīsim saukt par formāliem modeļiem, bet negribēsim saukt par matemātiskiem modeļiem?

Un pat dator-modeļus, kas spēj simulēt kādas kompānijas biznes-procesus (ar UML diagrammām utml.) arī negribēsim saukt par matemātiskiem modeļiem?

Bet vai kāds var nosaukt kādas modeļu klases atšķirības pazīmi, kas būtu svarīgāka par stable&self-contained?

Formālo modeļu pētīšana - kas tā ir par zinātni? Vai "gadījumā" tā tomēr nav matemātika?

Iedomāsimies dator-modeli, kam pieslēgta fiziska ārēja iekārta, kas ģenerē un padod datoram kaut kādus signālus. Vai tāds modelis ir stable&self-contained?

Un vai naturālo skaitļu virkne, ģeometriskā taisne utt. arī nav šādi stable&self-contained modeļi, kuru galvenās īpašības gan ir iegūtas no cilvēku praktiskās darbības, bet pēc tam ir atrautas no tās, uzsākot patstāvīgu "modelisku" dzīvi. Vai šī atraušana ir notikusi bez deformācijām? Ir parādījusies bezgalība, kuras cilvēku praksē nebija un nav? Vai tā nav deformācija?

 

Un tomēr...

Es gribētu apgalvot, ka tieši stable&self-contained ir matemātisko modeļu īstā atšķirības pazīme. Tieši caur šo atzinumu mēs atklājam matemātikas kā zinātnes "perpendikulāro" dabu. Matemātiski var pētīt jebkurus objektus, procesus, sistēmas utt. Nekādas specifiskas robežas te nav nospraužamas.

Specifiska ir tikai pieeja (metode!) - izveidot tādu modeli, ko būtu vērts pētīt ilgstoši, vairs nevēršoties pie "oriģināla". Matemātika cenšas attīstīt šādu modeļu būves un pētīšanas metodes.

[Matemātikas un mērīšanas ģenēze matemātisko modeļu pasaulē... (neņemt reālos skaitļus kā dotu struktūru, uz kuru jāprojicē, bet kā tā radusies...)]

 

Kāpēc ne visi tā domā?

Kāpēc matemātiķi nelabprāt grib piekrist, ka matemātikas principi ir stable&self-contained?

S. S. Lavrovs 1988.gada vēstulē: "... Jebkurā teorijā teorēmas, kā likums, sastāv no divām daļām - premisas un secinājuma. Tātad teorēma tiek atvasināta ne tikai no fiksētas aksiomu kopas, bet arī no premisas, kas ir specifiska dotajai teorēmai. Un šī premisa - vai tā nav fiksētās principu sistēmas paplašinājums? ... Matemātiskās teorijas ir atvērtas jaunu jēdzienu veidošanai. Tā piemēram, matemātiskajā analīzē pēc nepārtrauktības jēdziena tika ievesti šādi ar to saistīti jēdzieni: lūzuma punkti, vienmērīgā nepārtrauktība, Lipšica nosacījumi utt. ... Tas viss nerunā pretī tēzei par par principu (aksiomu un izveduma likumu) fiksēto raksturu, bet tas neļauj "strādājošiem matemātiķiem" uzlūkot matemātiskās teorijas kā fiksētas."

 

Matemātikai ir divas dimensijas!

Matemātisko modeļu stable&self-contained raksturs ir tikai pirmais solis matemātikas būtības izpratnē. Taču bez šī soļa, manuprāt, mēs nevarētu izprast matemātikas īpašo stāvokli citu zinātņu vidū.

Bet vai tas ir viss?

Cilvēka smadzeņu darbības divi veidi:

a) Kreisā puslode - "dators", kas spēj efektīvi izpildīt algoritmiskas darbības, t.i. sekot uzdotiem noteikumiem (nejautājot, "kāpēc").

b) Labējā puslode - "fantasts", kas spēj atrast ceļus, kas ved pāri uzdoto noteikumu robežām.

Sergejs Maslovs saskatīja šeit analoģiju ar situāciju matemātisko modeļu pasaulē, kur cilvēkiem jānodarbojas ar divām lietām:

a) Fiksēta modeļa pētīšana, darbošanās fiksētā matemātiskā struktūrā vai aksiomu sistēmā. Tas atbilst smadzeņu kreisās puslodes profilam - spējai efektīvi darboties uzdoto noteikumu robežās (nejautājot, "kāpēc").

b) Modeļu, matemātisko stuktūru vai aksiomu sistēmu modificēšana vai jaunu radīšana. Tas atbilst smadzeņu labējās puslodes profilam - spējai izmēģināt kaut ko jaunu, agrāk nebijušu.

S. Yu. Maslov. Asymmetry of cognitive mechanisms and its consequences. Semiotics and information science, N20, pp.3-31, Akad. Nauk SSSR, Vsesoyuz. Inst. Nauchn. i Tekhn. Informatsii, Moscow, 1983 (in Russian).

Mans secinājums:

Matemātika ir darbošanās divās dimensijās.

Lielākā daļa no matemātiķa darba laika paiet pirmās dimensijas virzienā - pētot fiksētu modeli, struktūru vai aksiomu sistēmu. Tieši te ir matemātikas efektivitātes avots - matemātiķu spējā iegūt maksimāli daudz secinājumu no minimālām premisām (t.i. netaisot visu laiku jaunas premisas).

Bet dažbrīd matemātiķim ir jāpārvietojas arī otrajā dimensijā, mainot savus modeļus, struktūras un aksiomas, vai izgudrojot pavisam jaunus.

Ja mēs ievērosim tikai pirmo dimensiju, tad matemātika mums liksies savā starpā nesaistītu struktūru nesakārtota "kaudze". Īstenībā, protams, matemātiskās struktūras veido sistēmu - un šīs sistēmas likumsakarību pētīšanai vajadzētu būt nopietnam matemātikas filosofijas virzienam.

No šī viedokļa, Nicolas Bourbaki slaveno daudzsējumu traktātu "Elements de Mathematique" var uzskatīt par mēģinājumu sistemātiski aplūkot matemātikas otro dimensiju.

Sk. arī:

David Corfield. Towards a Philosophy of Real Mathematics. Cambridge University Press,  April 2003 [šī grāmata ir LU bibliotēkā].

[Matemātiskie modeļi un matemātiskās struktūras - to savstarpējās attiecības. Reālie skaitļi un analītiskās funkcijas ieiet visos fizikas modeļos. Matemātiskās struktūras kā efektīvi matemātisko modeļu veidošanas līdzekļi? Reālie skaitļi kā mērīšanas abstrakcija?]

 

P./S. Dažas konkrētas matemātiskas problēmas

Tās rodas kā sekas mūsu filosofiskajiem prātojumiem...

Mēs jau redzējām, ka ir viegli uzrakstīt aritmētiskas izteiksmes, kuru vērtības ir "nereāli" naturāli skaitļi. Piemēram, izteiksmes 101000 vērtība ir skaitlis, kuru nevar reāli attēlot kā vieninieku summu. Tiesa, to var attēlot ar decimālo pierakstu 10...0 (tūkstoš nuļļu). Bet izteiksmes 10^10^1000 vērtību nevar attēlot arī kā reālu decimālo pierakstu. Bet pašas šīs izteiksmes taču ir reālas - un pat ļoti īsas simbolu virknes!

Tāpēc es gribētu ieteikt naturālo (vai veselo) skaitļu aritmētikas vietā nodarboties ar izteiksmju aritmētiku. Tā ir daudz bagātāka un interesantāka pasaule!

Pētījumu objekts te varētu būt izteiksmes jebkurā fiksētā operāciju bāzē, piemēram, {1, +, *}. Te figurēs tādas izteiksmes kā: 1+1+1, (1+1)*(1+1) utt. Šī bāze ir "normāla" tai ziņā, ka reāla garuma izteiksmei te atbilst izteiksmes vērtības binārs pieraksts reālā garumā.

Izteiksmes operāciju bāzē {1, +, *, ^} (^ - kāpināšana) ir jau pavisam interesantas, piemēram,

(1+1)^(1+1)^(1+1)^(1+1)^(1+1)^(1+1)

attēlo skaitli 2^2^2^16 jeb 2^2^65536, kuram reāls binārais pieraksts nav iespējams.

Ja mēs nespējam katrai izteiksmei izrēķināt reālu vērtību, tad varbūt, paiesim soli atpakaļ, un jautāsim sev: cik sarežģīti ir salīdzināt tādu izteiksmju vērtības, kuras mēs spējam uzrakstīt, bet kuru vērtības nespējam izrēķināt?

Skaistu piemēru var atrast adresē http://mathforum.org/library/drmath/view/66156.html:

"Comparing Very Large Numbers--Which Is Bigger?... How do you know whether 10^10!^10 is bigger than 9!^9!^9?"

Problēma 1. Cik daudz laika (atkarībā no izteiksmju garumiem) tērēs algoritms, kas prot salīdzināt izteiksmju vērtības bāzē {1, +, *}? Vai ar ātro Furjē transformāciju palīdzību te varētu dabūt novērtējumu O(n log n), kur n ir garākās izteiksmes garums?

Problēma 2. Tas pats bāzei {1, +, *, ^}. Vai tā būs NP-smaga problēma, EXPTIME, vai vēl sliktāk?

Problēma 3. Ja nevaram citādi, tad, varbūt, varam vismaz pamēģināt uzbūvēt operāciju bāzi, kurā izteiksmju vērtību salīdzināšanas algoritmam ir nepieciešams eksponenciāls (vai vēl lielāks) laiks?

Problēma 4. Dotas divas operāciju bāzes. Cik sarežģīts (laika ziņā) ir algoritms, kas katrai izteiksmei pirmajā bāzē atrod izteiksmi otrajā bāzē ar tādu pat vērtību?

Aicinu piedalīties šo problēmu risināšanā! Internetā par tādām lietām man neko atrast nav izdevies. NP pilno problēmu katalogos izteiksmju vērtību salīdzināšana netiek minēta.

Kādas filosofiskas sekas būtu secinājumam, ka piemēram, bāzē {1, +, *, ^} (vai kādā citā bāzē) izteiksmju vērtību salīdzināšana reālā laikā nav iespējama?

Vairāk par problēmām, ko varētu pētīt izteiksmju aritmētikā sk. specsemināra "Eksperimentālā matemātika" tīmekļa lapā.

Personīgā lapa