Математика - "рядовая" отрасль науки? Теперь попробуем подойти с другой стороны. Разумеется, математика - это отрасль науки, как и физика, химия, биология, история, экономика и т.д. В любой науке присутствует определеннный ритуальный аспект. Однако, в естественных и социальных науках против него действует независимый "регулятор" - предмет исследования, находящийся вне исследователя. "Нормальная" отрасль науки занимается своим особым предметом - какой-то частью явлений окружающего нас мира. Поэтому слишком смелым фантазиям здесь обычно скоро приходит конец. В биологии, например, были или нет попытки "исследования" воображаемых, реально не существующих животных? Или - "живых структур", в которых вместо кислорода фигурирует фтор (пример из фантастического романа)? Является ли математика одной из таких предметно- ориентированных отраслей науки? Или положение математики среди других наук - особое ("перпендикулярное" по отношению к "плоскости параллельных наук")? До изобретения неевклидовых геометрий (1820е годы) математику действительно можно было считать "одной из наук". Например, геометрию Евклида можно было считать абсолютно безошибочной "физикой" реального пространства. Материалисты и марксисты пытались поддержать эту концепцию до наших дней, заявляя, что предметом математики являются пространственные формы и количественные отношения действительного мира. Для этого понятие количества пришлось определить максимально широко - как это делал Г. В. Ф. Гегель: количество - это "отмененное" качество, свойство, "безразличное" к качеству. Таким путем под это определение можно подвести не только геометрию и математический анализ, но и абстрактную алгебру, топологию и все остальные математические структуры. Ф. Энгельс: "Чистая математика имеет своим объектом пространственные формы и количественные отношения действительного мира, стало быть — весьма реальный материал. Тот факт, что этот материал принимает чрезвычайно абстрактную форму, может лишь слабо затушевать его происхождение из внешнего мира. Но чтобы быть в состоянии исследовать эти формы и отношения в чистом виде, необходимо совершенно отделить их от их содержания, оставить это последнее в стороне как нечто безразличное." А. Н. Колмогоров, "Математика", БСЭ, 1938/1954 г.(online copy): "...в результате как внутренних потребностей М., так и новых запросов естествознания круг количественных отношений и пространственных форм, изучаемых М., чрезвычайно расширяется; в него входят отношения, существующие между элементами произвольной группы, векторами, операторами в функциональных пространствах, всё разнообразие форм пространств любого числа измерений и т. п. При таком широком понимании терминов «количественные отношения» и «пространственные формы» приведённое в начале статьи определение М. применимо и на новом, современном этапе её развития." Сейчас не модно вспоминать эти идеи. Но, по-моему, это направление мысли все-таки следовало бы попробовать развить до конца (я не следил за публикациями). |
|
Математика
- все таки Однако, по-видимому, в математике присутствует что-то такое, что уже давно заставило - по крайней мере, некоторых мыслителей - предположить, что математика - не совсем обычная отрасль науки. Платон (-4 в.) объяснял особое положение математики с помощью своей концепции "мира идей" и "мира вещей" (второй является несовершенным воплощением первого). До рождения человека его душа обитает в "мире идей", а после этого, во время земной жизни, занимаясь математикой, человек всего-лишь вспоминает то, чему его душа научилась в "мире идей". Т.е., математики ничего не изобретают - они "по памяти" исследуют готовые структуры. Идея Платона была гениальной догадкой. В 18 веке И. Кант сделал следующий шаг, предложив свою концепцию синтетического априори. Как и Платон, Кант был поражен точностью, с которой геометрия Евклида соответствует окружающему нас пространству. Никакую другую структуру пространства тогда никто представить не мог. Но, в отличие от Платона, Кант предположил для объяснения этого феномена, что геометрия Евклида является априорной формой, которая "встроена" в человеческий разум, и с помощью которой человек упорядочивает свои ощущения. (А арифметика целых чисел "встроена" в интуицию времени.) Это была еще одна гениальная догадка. Извинение: возможно, вместо "подлинных мнений" Платона и Канта в этом рассуждении использованы упрощенные их модели. |
|
От теорем к аксиомам Начнем с одной из первых математических теорем (-6 в.): Теорема. За каждым простым числом следует еще одно простое число. Полная эмпирическая проверка здесь невозможна - целых чисел "бесконечно много". Как же могут математики убедить себя, что утверждение теоремы истинно? Доказательство. Если мы имеем k простых чисел p1, p2, ..., pk, то число p1p2...pk+1 не делится ни на одно из них, т.е. оно делится на простое число, отличное от всех p1, p2, ..., pk. Q.E.D. Почему это убедительно (для математиков)? Ведь всякое доказательство всего лишь выводит одно утверждение из других. Что же находится в начале этой цепи? Желательно - утверждения, с истинностью которых все согласны, т.е. аксиомы. Так древние греки пришли к идее аксиоматизации. Потом эта идея развивалась, и в 19 в. Г. Фреге и Ч. С. Пирс довели ее до понятия формализации. Но только к концу 19 в. был, наконец, поставлен вопрос: возможно ли сформулировать полный и окончательный список аксиом, из которого можно вывести все математические теоремы? (Д. Гильберт, еще одна гениальная догадка). Это равносильно вопросу: возможно ли с помощью аксиом определить основные математические структуры (множества, целые числа и т.д.), или же эти структуры существуют независимо, и с помощью аксиом мы можем пытаться их лишь описывать? |
|
Проблема существования математических структур Мысль о независимом существовании математических структур появляется у людей довольно скоро - уже при изучении математики в школе. Проведем над Вами следующий тест. Рассматриваем последовательность т.н. простых чисел - близнецов: (3, 5), (5, 7), (11,
13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61), (71,73),
(101, 103), (107,109), (137, 139), (149, 151), (179,
181), (191, 193), В 1849 г. А. де Полиньяк предположил, что эта последовательность продолжается бесконечно. Эта гипотеза до сих пор не доказана, и не опровергнута. Но ведь возможно только одно и двух? а) Последовательность близнецов продолжается бесконечно. б) Последовательность близнецов обрывается на последней паре. Кто может представить третью возможность? Кто не может? И как следовало бы называть эти две категории людей? |
|
Третья возможность Теорема Геделя о неполноте. Если система аксиом точно сформулирована и с ее помощью можно доказать простейшие свойства целых чисел, то эта система не может быть совершенной: она либо противоречива, либо недостаточна для решения многих проблем в области своей компетенции. Курт Гедель (28 апреля 1906-1978) доказал эту теорему летом 1930 г. Конечно, с практической точки зрения, теорема Геделя является только общим предсказанием. Это предсказание подтвердилось конкретно и по-настоящему только в 1963 г., когда Поль Коэн доказал, что общепризнанные аксиомы теории множеств (если они непротиворечивы) недостаточны для решения знаменитой континуум-проблемы. К этой проблеме пришел в 1878 г. сам изобретатель теории множеств Г. Кантор: существуют ли множества, содержащие больше элементов, чем множество всех целых чисел, но меньше чем множество всех действительных чисел? Кантор предположил, что таких множеств не существует. Итак, вполне может оказаться, что наши аксиомы недостаточны и для решения проблемы близнецов: с их помощью гипотезу Полиньяка нельзя ни доказать, ни опровергнуть. Это и есть упомянутая третья возможность: мы не в состоянии доказать ни то, что последовательность близнецов обрывается, ни то, что она неограниченно продолжается. Допустим, что так оно и есть - мы не в состоянии доказать ни то, ни другое. Полагаете ли Вы, что несмотря на это, "на самом деле" последовательность близнецов все же либо обрывается на последней паре, либо неограниченно продолжается? Т.е. вроде как бы получается, что наши аксиомы недостаточно полно описывают "реальную" последовательность целых чисел? Но если так, то какого рода объектом эта неуловимая последовательность является? В каком смысле она "существует"? |
|
Диофантова теорема о неполноте В 1970 г. Юрий Владимирович Матиясевич завершил решение Десятой Проблемы Гильберта. Диофантова теорема о
неполноте.
Можно построить диофантово уравнение 4-й степени с 59-ю
неизвестными такое что: |
|
Может
быть, целые числа Во времена Ньютона действительно могли так думать. Вселенная бесконечна, поэтому, шагая в одном направлении и считая шаги, мы будем вынуждены "использовать" все целые числа. Т.е. целые числа "существуют в природе", и поэтому на каждый точно сформулированный вопрос о них должен существовать определенный ответ. В частности - на вопрос о количестве простых чисел - близнецов могут быть только два ответа (последовательность близнецов либо где-то кончается, либо никогда не кончается). Однако, современная физика такую картину больше не поддерживает. Согласно теперешней общепризнанной космологической модели, во Вселенной содержится значительно менее 101000 элементарных частиц. Таким образом, хотя знание арифметики провоцирует нас вообразить последовательность из 101000 частиц, в природе ничего подобного не существует! Не означает ли это, что бесконечный "хвост" последовательности целых чисел является всего лишь нашей фантазией? |
|
Бесконечные структуры в природе не существуют? В самом деле - не существуют? На самом деле это довольно сложная проблема. Знание арифметики провоцирует нас вообразить "счет" не только частиц, но и множеств частиц, "множеств множеств" и т.д. Из N частиц получается 2N множеств. Таким путем, начав даже с пустого множества частиц, мы можем "получить" произвольно большое количество "объектов"! Однако, с точки зрения физики, этой "деятельности" скоро приходит конец из-за: а) спонтанных превращений элементарных частиц, б) конечности скорости света, в) конечного времени существования Вселенной, и т.д. По-видимому, наибольшую ясность в эту проблему может внести вывод Сета Ллойда: "The Universe can have performed 10120 ops on 1090 bits (10120 bits including gravitational degrees of freedom)." Sеth Lloyd. Computational capacity of the universe. Physical Review Letters, 2002, vol. 88, issue 23, 4 p. (online, extended online version). Таким образом, за время своего существования, Вселенная как компьютер не могла совершить очень много. Так или иначе, хотя бесконечная последовательность целых чисел и произошла из человеческой практики как абстракция реальных процессов счета, прямым отражением какой-либо структуры реального мира она все же не является. И поэтому бесконечный "хвост" этой последовательности является только плодом нашей фантазии? (А. Н. Колмогоров о
том, как существа, обитающие в
конечном мире, могут прийти к
идее бесконечности. См. стр.
232-233 лекции "Современные
взгляды на природу
математики" в кн. |
|
Формализм Если бесконечная последовательность целых чисел не является "природной структурой", то какого рода объектом эта последовательность является? В каком смысле она "существует"? И в каком смысле тогда существуют более сложные математические структуры: действительные числа, функциональные пространства, алгебры, топологии, несчетные бесконечные множества, большие кардиналы, категории и т.д.? Это ведь тем более - не "природные структуры"! Простейший возможный ответ на эти вопросы: математические структуры сами по-себе вообще не существуют, существуют только системы аксиом, которые их определяют. а) Аксиомы действительно существуют - и даже как написанные на бумаге физические объекты! б) Математики охотно занимаются выводом следствий из любых "интересных" аксиом, даже если им (пока?) не известно, что за ними "стоит". Лобачевский начинал именно так... В философии математики такой подход называется формализмом. Формалисты отстаивают право математиков исследовать любые системы аксиом, и настаивают на том, что только аксиомы могут служить точно определенным объектом для обсуждения. (Просьба не путать эту серъезную философию с широко известной карикатурой на формализм: математика-де - бессмысленная игра с символами. Эта карикатура - изобретение противников.) Разумеется, первичной основой математических аксиом является практический, технический и научный опыт человечества, но аксиомы идут значительно дальше этого ограниченного опыта: они экстраполируют, сглаживают, идеализируют, искажают и т.д. В результате получаются "структуры", точных аналогов в природе не имеющие. С этой точки зрения, аксиомы арифметики или аксиомы теории множеств не описывают, а определяют последовательность целых чисел. И если эти аксиомы (возможно) не в состоянии решить проблему близнецов, то с этим надо мириться, или - надо пытаться аксиомы дополнять или изменять. С точки зрения
формалистов, теорема Геделя о
неполноте вскрывает неизбежность
диалектики в развитии
математики - как только Вы
точно сформулировали Ваши
аксиомы, неизбежно одно из
двух: Всякая фиксированная ("застывшая") система аксиом несовершенна (именно в силу своего застывшего характера) и поэтому должна совершенствоваться. Что может быть лучше этого захватывающего процесса? |
|
Платонизм? Кроме решения, предлагаемого формалистами, проблему существования математических структур можно пытаться решить и другим путем. Поскольку (как мы видели) математические структуры не существуют в природе, но "должны существовать независимо от нас, людей", то они существуют в особой "третьей реальности", к которой человеческий разум имеет доступ с помощью интуиции. В философии математики такой подход называется платонизмом. Платонисты настаивают на том, что математики должны заниматься исследованием того единственного варианта математических структур, который существует в "третьей реальности". С этой точки зрения, бесконечная последовательность целых чисел является "третьей реальностью", в которой гипотеза Полиньяка может быть только истинной или ложной ("третьего не дано": пары близнецов либо кончаются, либо нет). А теорема Геделя о неполноте показывает, что никакая фиксированная система аксиом не может дать исчерпывающее описание бесконечной последовательности целых чисел. Ситуация в теории больших кардиналов, кажется, поддерживает эту иллюзию... |
|
Положителная роль платонизма в математике Платонистское отношение к математическим структурам характерно для большинства математиков (которые, как правило, не задумываются о "смысле" своей деятельности). Во первых, они полагают, что предмет их исследований "существует" независимо от них самих (и вообще, "от нас, людей"). Во-вторых, они бессознательно (по аналогии) переносят на свою "третью реальность" многие привычные им свойства окружающей нас физической реальности (прежде всего - закон исключенного третьего). По-видимому, "для нас, людей", платонизм - это наиболее эффективный способ работы с воображаемыми структурами. Например, представить себе последовательность целых чисел почти физически - как "дорогу в бесконечность" - и искать на ней последнюю пару близнецов - ведь она там - на дороге - либо где-то существует, либо нет? Математики могут годами "жить" в своих структурах как в особом мире, почти не задумываясь о том, что эти структуры означают (если вообще означают). Лобачевский начинал именно так... Действуя таким способом, математики научились получать максимальное количество заключений из заданного количества посылок. По-моему, именно это объясняет "непостижимую эффективность" математики в других науках. |
|
Платонизм как философия Итак, платонизм - неплохой метод. Именно как метод рассматривал его сам автор термина "математический платонизм" Пауль Бернайс: P. Bernays. Sur le platonisme dans les mathematiques. L'enseignement mathematique, Vol. 34 (1935), pp. 52-69. (Online English translation by Charles D. Parsons). Бернайс предупреждал, что платонистский метод следует применять с осторожностью: "... It is also this transcendent character which requires us to take certain precautions in regard to each platonistic assumption." Но как мы должны оценивать платонистскую гипотезу существования "третьей реальности" в качестве общефилософской идеи? Дает ли принятие этой гипотезы какие-либо преимущества? 100%-й платонизм - теоретико-множественный платонизм (вера в единственность "подлинного мира множеств"). Аксиомы больших кардиналов. 50%-й платонизм - платонизм в отношении целых чисел (сомнения по поводу теории множеств и вера только в единственность последовательности целых чисел). Идею "третьей реальности" предложил еще Платон (его абсолютно совершенный "мир идей"). Но скептический Кант не нашел оснований для введения "третьей реальности", он приписал математические структуры "второй реальности", т.е. объявил их свойствами человеческого разума. Идея 50% восходит к Л. Брауеру, который (см. его лекцию 1912 г. "Интуиционизм и формализм") предложил сохранить на 50% кантовское синтетическое априори - объявить "свойством человеческого разума" не всю математику, а только идею последовательности целых чисел. 50%-е платонисты пропагандируют ту же иллюзию, что Кант и интуиционисты - только приписывают они ее не "второй реальности" , а "третьей реальности". Мнение нейрофизиологов: Patricia S. Churchland, Paul Churchland. Neural worlds and real worlds. Nature Reviews Neuroscience, November 2002, vol. 3, N 11, pp. 903-907 (online copy). И наконец, вопрос: как должны относиться к идее "третьей реальности" наши компьютеры, участвующие в развитии математики? Этим завершается наш второй поток ассоциаций. |