|
|
Modelēšanas robežas Kārlis Podnieks Latvijas Universitātes (C) K. Podnieks, 2010
Attēls no MacTutor History of Mathematics archive - Godel Portraits |
|
|
Everything that is going on in human minds can be best understood as modeling. K.Podnieks Šis referāts ir turpinājums manam trešajam rakstiņam, ko man izdevās publicēt filozofu žurnālā: K. Podnieks. Towards Model-Based Model of Cognition. The Reasoner, Vol. 3, N 6, June 2009, pp. 5-6. Tur es beidzot atklāju gandrīz visas savas “kārtis”. |
||
|
Modeļi un teorijas Lai saprastu to, kas sekos tālāk, šīs divas lietas ir jāprot labi atšķirt. Mana iecienītā visvispārīgākā modeļa definīcija: A model is anything that is (or could be) used, for some purpose, in place of something else. Models are tiny fragments of the Universe possibly usable (for some purpose) in place of other fragments (or, even in place of the entire Universe). T.i. modelis ir viena konkrēta sistēma, kas “modelē” citu (vienu konkrētu!) sistēmu. Piemērs. Saules sistēmas modelis, kurā Saule un planētas ir punkti ar konkrētām masām, sākuma koordinātēm un sākuma ātrumiem, bet asteroīdi, komētas, galaktikas un pats Visums neeksistē. Plus klasiskās mehānikas likumi un Ņūtona gravitācijas likums (arī tie pieder pie šī modeļa definīcijas!). Secināšanas līdzekļu neiekļaušana modelī ir raksturīga kļūda, kas pastiprina sajukumu! Neviena teorija nemodelē vienu konkrētu sistēmu. Teorijas ir modeļu būves līdzekļi. Ja teorija tikai “izskaidro pasauli”, bet nepalīdz būvēt konkrētu sistēmu modeļus, tad... Piemērs. Klasiskā mehānika ir līdzeklis ļoti dažādu konkrētu mehānisku sistēmu modelēšanai (t.i. modeļu būvei). Bet pati šī teorija nav modelis “kaut kam vienam”. Dabas likumi un teorijas ir tikai "The Toolbox of Science" – sk. Mauricio Suarez, Nancy Cartwright (2008: Theories: Tools versus Models. Studies in History and Philosophy of Modern Physics, 39: 62-81). Vai modeļu būves līdzeklis var būt pielūgsmes objekts? |
||
|
Bet teorijas (dažas) IR modeļi (parametrizēti)... Iespējams, ka teoriju un modeļu sajaukšanu rada lietas, kas it kā atrodas pa vidu starp teorijām un modeļiem. Es tās sauktu par model templates (modeļu šabloniem, parametrizētiem modeļiem). Piemērs. Patvaļīgas planētu sistēmas “modelis”, kurā centrālā zvaigzne un n planētas ir punkti ar patvaļīgām masām, sākuma koordinātēm un sākuma ātrumiem, bet nekā cita nav. Plus klasiskās mehānikas likumi un Ņūtona gravitācijas likums. Tikai, izvēloties konkrētu planētu skaitu n, konkrētas masas, sākuma koordinātes un sākuma ātrumus, mēs iegūstam īstu kādas (vienas konkrētas!) planētu sistēmas modeli. Dažreiz (bet ne vienmēr) visu teoriju var prezentēt kā šādu vispārīgu parametrizētu modeli. Tas arī rada tieksmi jaukt teorijas un modeļa jēdzienus kopā. Piemērs. Klasiskās mehānikas formulējums, izmantojot Hamiltona vienādojumus. Tas ir patvaļīgas mehāniskas sistēmas modeļa šablons, kurā ir vispārinātās koordinātes, vispārinātie impulsi, sistēmas Hamiltona funkcija (ļoti sarežģīts parametrs!), bet mehānikas likumus pārstāv Hamiltona vienādojumi. Tātad, ja teoriju gribam prezentēt kā “modeli”, tad tam ir jābūt parametrizētam modelim. Tas ir viens no modeļu (un teoriju) būves paņēmieniem. |
||
|
Vai visu var “uzmodelēt”? Ko tas nozīmē? Pirmkārt, saskaņā ar modeļa definīciju, “uzmodelēt” doto sistēmu nozīmē uzbūvēt citu sistēmu, ko var (kaut kādiem mērķiem) izmantot dotās sistēmas vietā. Otrkārt, cik detalizēti cita sistēma var “uzmodelēt” doto sistēmu? Pareizais jautājums tātad ir: vai citas sistēmas var “uzmodelēt” doto sistēmu ar neierobežotu detalizācijas pakāpi? |
||
|
Pirmais piemērs: gāzu kinētiskā teorija Konkrēts izolēts trauks, kas satur 1 litru konkrēta gaisa. Cik detalizētu simulējamu dator-modeli tādam traukam mēs varam uzbūvēt? Ja mēs ticam, ka gaiss sastāv no molekulām, tad traukā ir 1020 vai vairāk šādu molekulu. Katras molekulas pozīciju un ātrumu var fiksēt ar 6 skaitļiem, t.i. trauka stāvokli kādā laika momentā var fiksēt ar ne mazāk ka 6*1020 skaitļiem. Kāds dators būtu vajadzīgs, lai visu šo informāciju glabātu un piedevām vēl “rēķinātu uz priekšu”, t.i. prognozētu katras molekulas stāvokli, apsteidzot laikā to, kas traukā reāli notiek? Tāds dators šobrīd nav iespējams. Un, droši vien, nebūs iespējams nekad. Vai no tā mēs drīkstam secināt, ka traukam ar 1 litru gaisa nevar uzbūvēt neierobežoti detalizētu modeli (“līdz pēdejai molekulai”)? Vai pat – ka tādi modeļi dabā vispār neeksistē? Tātad ne visu var “uzmodelēt”? Un ka šīs modelēšanas robežas ir iebūvētas pašā modelēšanas principā – būvēt dotajai sistēmai citu sistēmu, ko var izmantot tās vietā? |
||
|
Otrai piemērs: kosmoloģija Mūsu vienīgais “konkrētais” Visums. Cik detalizētu simulējamu dator-modeli mēs tam varam uzbūvēt? No vienas puses, te parādās grūta metodoloģiska problēma: pats Visuma modelis M taču arī ir Visuma sastāvdaļa, tātad modeļa M modelim MM jābūt modeļa M sastāvdaļai utt. No otras puses, kādi ir labākie sasniegumi Visuma evolūcijas dator-modelēšanā, izmantojot super-datorus? Atmiņas par kolēģa V. Kaščejeva lekciju 2009.gada Programmētāju dienā: The Millennium Simulation Project. Kāda te ir modelēšanas detalizācijas pakāpe? Vai modelī ir pārstāvēti VISU galaktiku modeļi? Piena Ceļa tur nav! Un, vai modelējot galaktiku, modelī iekļauj pilnu sarakstu ar tajā ietilpstošajām zvaigznēm? Neiekļauj. Un neviens taču pat nesapņo par Visuma modeli, kurā būtu pārstāvētas VISAS pastāvošās elementārdaļiņas (fotonus un neitrino ieskaitot)! Kaut vai lielā datu apjoma dēļ tādi modeļi dabā vispār nav iespējami! Tātad atkal jāsecina, ka modelēšanai ir robežas un ka tās ir iebūvētas pašā modelēšanas principā – būvēt dotajai sistēmai citu sistēmu, ko var izmantot tās vietā? |
||
|
Laplass to apzinājās..., kad klasiskās mehānikas triumfa stundā izvirzīja savu slaveno determinisma tēzi: P. S. Laplace, Essai philosophique sur les probabilités, 1812 [?] “Let us imagine an Intelligence who would know at a given instant of time all forces acting in nature and the position of all things of which the world consists; let us assume, further, that this Intelligence would be capable of subjecting all these data to mathematical analysis. Then it could derive a result that would embrace in one and the same formula the motion of the largest bodies in the universe and of the lightest atoms. Nothing would be uncertain for this Intelligence. The past and the future would be present to its eyes. [...] All our efforts in our search of truth tend, without respite, to approximate this Intelligence imagined, but our efforts will always fall infinitely short of this mark.” (Citēts no: Causality in macroeconomics, by Kevin D. Hoover, 2001, 311 pp.) Tātad Laplass apzinājās, ka pat neskatoties uz to, ka viņam ir teorija, kas “izskaidro visu”, tas tomēr nenozīmē, ka mēs ar tās palīdzību varēsim visu neierobežoti precīzi prognozēt (šodien mēs teiktu – modelēt). Šodien es te vēl tikai piebilstu, ka ne tikai “mēs nevarēsim”, bet tas principā nav iespējams! Kādas tam varētu būt sekas? |
||
|
Šie detalizētie modeļi dabā neeksistē, bet mums taču tādi “vispār nav vajadzīgi”? Tam var piekrist. Bet kas tad mums ir vajadzīgs? Tikai vienkāršoti modeļi, kas ļauj parādības pietiekami precīzi prognozēt? Bet vai šie modeļi var būt pilnīgi patvaļīgi un savā starpā nesaistīti, vai arī mēs gribam, lai tie veidotu vienotu, saskaņotu sistēmu? Piemēram, lai tie būtu veidoti no vienas teorijas, kas “izskaidro visu” - Theory of Everything? Pie šī jautājuma mēs vēl atgriezīsimies. |
||
|
Šie detalizētie modeļi dabā neeksistē, bet tos taču “var iedomāties”? Tas ir ļoti izplatīts ir šāds sevis mānīšanas veids... Ko nozīmē “iedomāties” dator-modeli, kas detalizēti (“līdz pēdējai molekulai”) atveido minēto izolēto trauku ar 1 litru gaisa? Katrai no vairāk nekā 1020 molekulām “dators” glabā 6 skaitļus, un “datora” programma katram nākamajam laika momentam veikli izrēķina šo skaitļu izmaiņas. Īstenībā šāda datora “eksistence” ir tikai matemātiska teorēma. Tā ir līdzīga teorēmai: “eksistē bezgalīgi daudz pirmskaitļu”. Tāpat kā dabā eksistē tikai neliela daļa no “matemātiski eksistējošiem” pirmskaitļiem, tā arī gāzes dator-modeli var reāli uzbūvēt tikai mazam molekulu skaitam (105, 106, ...). Beigās vienu tādu apskatīsim un padarbināsim... Kāda daļa no visām šīm mūsu iedomām eksistē reāli (bez pēdiņām)? Eksistē model templates, parametrizētie modeļi! Pavisam viegli ir nodefinēt t.s ideālās gāzes trauka parametrizētu modeli, kurā molekulu skaits n ir parametrs, i-ai molekulai ir masa mi, un katrā laika momentā – koordinātes xi, yi, zi, ātrums vxi, vyi, vzi. Kustību pārvalda 6n Hamiltona vienādojumi, t.i. Ņūtona mehmanikas likumi. Sistēmas Hamiltona funkciju var nodefinēt kā pagaru summas izteiksmi. Šāda parametrizēta modeļa definīcija dabā eksistē (bez pēdiņām) – tikko to uzrakstījām! Šī definīcija definē veselu lielu modeļu klasi. Par šo modeļu klasi var pierādīt skaistas matemātiskas teorēmas. Bet ja molekulu skaits n ir1020 un vairāk, tad neviena konkrēta šīs klases modeļa instance dabā nevar eksistēt! Mēs to varam “iedomāties”, bet tā nav realizējama. Un nav realizējama nevis cilvēka iespēju ierobežotības dēļ, bet vispār nevar dabā eksistēt! “Iedomāties modeli” – tas nozīmē izvest tā eksistenci no matemātikas aksiomām. Bet ne viss, kas seko no aksiomām, ir realizējams dabā. Tāpat dabā eksistē (bez pēdiņām) pirmskaitļa definīcija – to var uzrakstīt. Bet šis definīcijas “realizācijas” - konkrēti pirmskaitļi, dabā eksistē “pavisam nedaudz”. [Te varam aizrunāties līdz matemātisko objektu “eksistences” problēmai. Ar šo problēmu ir saistīti plaši izplatīti maldi, kas, droši vien, ietekmē arī šī referāta uztveri. Bet tas ir ļoti plašs atsevišķs temats...] |
||
|
The Dappled World Mani šodienas secinājumi ir vēl viens arguments par labu filozofiskai koncepcijai, kura, diemžēl, nav pārāk populāra. Iedomāsimies gudru, bet ne pārāk gudru robotu, kas darbojas diezgan sarežģītā vidē. Kādu “izziņas procesu” mēs no viņa varam sagaidīt? Droši vien, katrai sev būtiskai parādībai robots būs spiests radīt modeli, kas viņam ļaus prognozēt notikumus? Robots nav cilvēks, viņš sevi nemānīs ar citām “izziņas formām”... Bet vai viņš centīsies (un ja centīsies – vai viņam izdosies) radīt vienotu modeli visai savai darbības videi? Nevis atsevišķus modeļus katrai parādībai vai to grupām? |
||
|
|
Nancy Cartwright. The Dappled World : A Study of the Boundaries of Science, 1999, 260 pp. Šajā grāmatā tiek pamatots uzskats, ka cilvēku zinātnē situācija ir tāda pat kā minētajā “robotu zinātnē”. Zinātne nav atradusi (un nav cerību, ka kādreiz atradīs) vienotu saskaņotu likumu komplektu, kas ļauj prognozēt jebkuras parādības norisi. Tā vietā mums ir (un vienmēr būs) tikai patchwork of laws (likumu kompilācija, savārstījums, lupatu sega). Mūsu pasaules aina vienmēr būs dappled world (nesakarīgi izraibināta, plankumaina pasaule, lupatu sega). Attēls no Nancy Cartwright's Homepage |
|
|
Tas, ko mēs nupat secinājām par modeļiem, viennozīmīgi liecina, ka vizmaz modeļu līmenī “lupatu sega” mūsu pasaules ainā ir neizbēgama. Jo nav iespējams vienots detalizēts modelis ne tikai Visumam kopumā, bet arī kaut cik apjomīgām tā daļām. (Atcerēsimies, ka modelis ir viena konkrēta sistēma, ko var izmantot citas vienas konkrētas sistēmas vietā.) Simulējams dator-modelis spēj atveidot tikai modelējamās sistēmas kādu ļoti ļoti ierobežotu aspektu. Un ne tāpēc, ka cilvēks pagaidām kaut ko neprot vai nespēj, bet tāpēc, ka tādi modeļi dabā vienkārši nevar eksistēt. Lai šajā pasaulē izdzīvotu, mums neizbēgami būs jāveido “lupatu sega” no liela skaita dažādu modeļu. |
||
|
Bet teoriju līmenī? Nancy Cartwright uzskati ne fiziķu, ne filozofu un citu zinātnieku vidū nav ļoti populāri. Vairāk gan uzbrūk otrai viņas, manuprāt, ģeniālai tēzei: “My basic view is that fundamental equations do not govern objects in reality; they only govern objects in models.” Sk. Nancy Cartwright. How the Laws of Physics Lie. Oxford University Press, 1983, 232 pp. Varbūt tiešām, vismaz teoriju līmenī no “lupatu segas” ir iespējams izvairīties? Teorijas ir modeļu būves līdzekļi. Tātad pareizais jautājums ir: vai kādreiz izdosies izveidot vienotu pabeigtu teoriju, kas viena pati ļaus uzbūvēt visus mums vajadzīgos modeļus? Vai tā būs t.s. vienotā lauka teorija vai kāda Theory of Everything? Cilvēkiem gribas atrast nelielu vienotu un saskaņotu dabas likumu komplektu, kas “visu izskaidrotu”... |
||
|
Bet nezīlēsim pārāk tālu uz priekšu... Aplūkosim tikai pašu vienkāršako situāciju, kad “lupatu segas” tiešam parādās. Ir skaidrs, ka nekāda Theory of Everything nepalīdzēs mums uzbūvēt konkrēta gāzes trauka detalizētu modeli (“līdz pēdējai molekulai”). Mēs jau zinām, ka tāds modelis dabā vienkārši nav iespējams. Un mums taču tāds arī nemaz nav vajadzīgs... Vairumā gadījumu mēs varētu iztikt ar vienkāršu makroskopisku gāzes trauka modeli, kurā molekulas nemaz nefigurē, piemēram, pV=RT. Šādu modeli var izsecināt no pavisam vienkāršiem empīriskiem novērojumiem. Bet bez tāda vai līdzīga modeļa nevar uzbūvēt tvaika lokomotīvi... Bet kāds tad labums no uzskata, ka gāze sastāv no molekulām? (Par Brauna kustību šobrīd nedomāsim.) Ja gāzu kinētiskā teorija pastāvēs atsevišķi no makroskopiskās termodinamikas (un likuma pV=RT), tad tas būs tieši “lupatu segas” gadījums. Svētdienās – pielūdzam molekulas, bet darbdienās – apmierināmies ar pV=RT? Tātad būtu labāk, ja abas teorijas būtu “saskaņotas”? Tātad likumu pV=RT mums vajadzētu prast no gāzu kinētiskās teorijas izsecināt? Un tas ir atsevišķs interesants stāsts – kā fiziķi no gāzu kinētiskās teorijas izved makroskopiskās termodinamikas likumus. Matemātiķiem šo stāstu ir ļoti interesanti analizēt, arī man pašam, liekas, ir izdevies atrast ko interesantu. Man gribētos to (ne tikai savus, bet arī citu matemātiķu atradumus) kādreiz pastāstīt fiziķiem... Bet šobrīd pietiks, ja visi piekritīs, ka šādiem izvedumiem ar teorijām, kas “regulē” molekulu kustību (Ņūtona mehāniku, kvantu mehāniku vai Theory of Everything), vien nepietiek. Ir vajadzīgas papildus hipotēzes, t.i. jauni likumi, kas no kustības teorijām nav atvasināmi. Kustību teorijas neizslēdz visu traukā esošo molekulu kustību pa “organizētām” paralēlām trajektorijām, nekad nesaduroties. Kādi dabas likumi tad nosaka to, ka lielākos gāzes daudzumos tāda “organizēta” molekulu kustība reāli nenotiek? Vai tie nav dabas likumi, kas iemiesoti matemātiskās modelēšanas metodēs? Viena no tādām hipotēzēm ir Gibbsa ieviestais t.s. mikrokanoniskais varbūtību sadalījums gāzes masas stāvokļiem, kas ļauj rēķināt vidējos lielumus. No tā var izvest arī pV=RT analogu: pV=(2/3)E, kur E – gāzes molekulu kopējā kinētiskā enerģija. Šie vidējie lielumi attiecas uz veselām lielām neeksistējošu modeļu klasēm. Paši modeļi neeksistē, bet to klases eksistē, un klašu vidējie lielumi izrādās “ļoti reāli”. |
||
|
Kā izskaidrot, ka, simulējot ar datoru vien 1000 molekulu kustību traukā, pēc īsa brīža “iestājas” Maksvela ātrumu sadalījums? T.i. arī 1000 molekulas uzvedas gandrīz kā “īsta gāze”! To parāda kolēģa Pauļa Ķikusta izveidotā datorprogramma PKikusts.EXE. Kurai zinātnei pieder dabas likumi, kuri nosaka šī dator-eksperimenta iznākumu? Tikai fizikai, vai matemātikai arī? |
||
|
|
||
