Принстон, 1950 г.

Теорема Геделя
за 15 минут

К. Подниекс

Латвийский Университет

Фото: MacTutor History of Mathematics archive - Godel Portraits

 This work is licensed under a Creative Commons License and is copyrighted © 2008 by me, Karlis Podnieks.

Формальная модель науки

Во многих текстах теорема Геделя о неполноте применяется без соответствующего предварительного определения контекста.

На самом деле, здесь мы имеем дело со специфической математической моделью науки. В этой модели, научные теории заменяются специфическими их моделями - т.н. формальными теориями. Формальные теории формулируются настолько точным образом, что их рассуждения можно воспроизвести на компьютере. И эти формулировки никогда не меняются - если Вы меняете формулировку Вашей теории, значит Вы пытаетесь предложить новую теорию.

В этой формальной модели науки теорема Геделя является чисто математическим результатом, и звучит она следующим образом:

Теорема Геделя

Теорема Геделя о неполноте. Если формальная теория настолько универсальна, что с ее помощью можно доказать простейшие свойства натуральных чисел (1, 2, 3, ...), то работая в этой теории, неизбежно случится одно из двух: либо мы придем к противоречиям, либо к неразрешимым проблемам.

Курт Гедель^MacTutor доказал эту теорему в г. Вена летом 1930 г., и он впервые рассказал об этом своим коллегам во вторник, 26 августа в венском кафе Reichsrat:

Фото из великолепной галереи, опубликованной BVI.

Где искать Cafe Reichsrat сегодня?

Больше о хронологии этого поворотного пункта в интеллектуальной истории человечества - здесь.

Что эта теорема может означать для нас?

Если мы намерены сделать из теоремы Геделя какие-либо выводы "для себя", то прежде всего мы должны определить, в какой степени наша ситуация соответствует формальной модели науки?

Достаточно ли точно сформулирована наша теория, чтобы представить ее в виде формальной теории? Если нет, то теорема Геделя к ней не применима. Но тогда, одновременно, мы должны признать, что наша теория сформулирована неточно, т.е. по крайней мере отчасти, мы не понимаем того, что говорим.

Но если наша теория сформулирована настолько точно, что ее можно представить в виде формальной теории, теорема Геделя к ней может быть применима. А именно:

Если наша теория достаточно универсаль- на, и мы ее точно сформулировали (и не будем эту формулировку менять в будущем), тогда, работая в этой теории, мы неизбежно придем либо к противоречиям, либо к неразрешимым проблемам.

Пример: теория множеств. Пытаясь точно сформулировать принципы теории множеств, мы приходим либо к противоречиям (таким как парадокс Рассела), либо к неразрешимым проблемам (таким как проблема континуума, см. дальше). Подробности в моем тексте Аксиоматическая теория множеств.

Что теперь?

Если Вы полагаете, что вышеописанная перспектива для Вас неприемлема, то в этой картине можно увидеть ровно три пути для отступления:

1) Снизим наши амбиции - откажемся от попыток строить универсальную теорию.

2) Откажемся нашу теорию точно форму- лировать.

3) Сформулируем нашу теорию (универ- сальную или нет) точно, но если необходимо, будем менять ее в будущем.

Первый путь - личный выбор каждого.

Второй путь - не сделает ли он нас смешными?

Третий путь - это путь современной науки: стройте модели, но не делайте из одной модели фетиш. All models are wrong, but some are useful. (George E. P. Box)

С практической точки зрения

Конечно, с практической точки зрения, теорема Геделя является только общим, но очень мощным предсказанием. Однако, это общее предсказание подтвердилось на математической практике уже много раз, начиная с 1963 г., когда Поль Коэн^MacTutor доказал, что общепризнанные аксиомы теории множеств (если они непротиворечивы) недостаточны для решения знаменитой континуум- проблемы.

К этой проблеме пришел еще в 1878 г. сам изобретатель теории множеств Г. Кантор^MacTutor : существуют ли множества, содержащие больше элементов, чем множество всех целых чисел, но меньше, чем множество всех действительных чисел? Кантор предположил, что таких множеств не существует. Однако, ни ему, ни его последователям так и не удалось эту гипотезу доказать. Теперь мы знаем, почему это так: используя общеприз- нанные аксиомы теории множеств, эту гипотезу действительно невозможно ни доказать, ни опровергнуть.

Больше об этом:
List of statements undecidable in ZFC^Wikipedia

Как видите, реальный смысл теоремы Геделя сильно отличается от тех странных вещей, которые можно прочитать о ней во многих текстах и даже учебниках (о математических "истинах", которые невозможно вывести из аксиом, о превосходстве человеческого разума над вычислительными машинами и.т.п.).