Prinstonā, 1950

Gēdela teorēma
15 minūtēs

Prof.
Kārlis Podnieks
Latvijas Universitāte

Attēls no: MacTutor History of Mathematics archive - Godel Portraits

 This work is licensed under a Creative Commons License and is copyrighted © 2008 by me, Karlis Podnieks.

Konteksts - zinātnes formālais modelis

Vairumā rakstu un grāmatu Gēdela nepilnības teorēmas sekas analizē, iepriekš neprecizējot tās statusu.

Bet īstenībā te ir runa par īpašu zinātnes matemātisku modeli. Šajā modelī zinātnes teoriju vietā tiek izmantots specifisks to modelis - t.s. formālās teorijas. Formālās teorijas ir tik precīzi noformulētas, ka tās var atveidot datoros. Un šie formulējumi nekad nemainās - ja Jūs maināt savas teorijas formulējumu, tad Jūs mēģināt piedāvāt jaunu teoriju!

Šajā modelī Gēdela nepilnības teorēma ir tīri matemātisks rezultāts, kurā nekādas "filosofijas" nav:

Teorēma

Gēdela nepilnības teorēma. Ja kāda formāla teorija ir tik universāla, ka tajā var pierādīt naturālo skaitļo (1, 2, 3, ...) vienkārškās īpašības, tad strādājot ar šo teoriju, neizbēgami notiks viens no diviem: vai nu tajā radīsies pretrunas, vai arī tā nebūs spējīga atrisināt daudzas problēmas savas kompetences ietvaros.

Kurts Gēdels^MacTutor pierādīja šo teorēmu Vīnē, 1930.gada vasarā, un viņš pirmoreiz pavēstīja par to saviem kolēģiem otrdien, 26.augustā Vīnes kafejnīcā Reichsrat:

Attēls no lieliskās galerijas, ko publicē BVI.

Kur šodien meklēt Cafe Reichsrat?

Vairāk par šī pagrieziena punkta hronoloģiju cilvēces intelektuālajā vēsturē - šeit.

Ko šī teorēma varētu nozīmēt mums?

Ja mēs vēlamies no Gēdela teorēmas atvasināt kādus secinājumus "priekš sevis", tad mums vispirms ir jānoskaidro, cik precīzi zinātnes formālais modelis atbilst tai situācijai, kas mūs interesē.

Vai mūsu teorija ir tik precīzi noformulēta, ka formālu teoriju var uzskatīt par tās adekvātu atveidu? Ja nē, tad Gēdela teorēma uz to neattiecas. Bet tad vienlaicīgi mums ir atklāti jāatzīst, ka mūsu teorija nav precīzi formulēta, t.i. mēs līdz galam nesaprotam, par ko runājam.

Bet, ja mūsu teorija ir ļoti precīzi noformulēta, tad formāla teorija varētu būt tās adekvāts atveids, un Gēdela teorēmas secinājums uz mūsu teoriju varētu būt attiecināms. Tātad:

Ja mūsu teorija ir pietiekami universāla un mēs pacentīsimies to pietiekami precīzi noformulēt (un no šī formulējuma vairs neatkāpsimies), tad nākotnē mums neizbēgami nāksies konstatēt vienu no diviem: a) mūsu teorija noved pie pretrunām, b) mūsu teorija nespēj atrisināt daudzas problēmas savas kompetences ietvaros.

Piemērs. Mēģinot precīzi noformulēt kopu teorijas aksiomas, process vispirms aizgāja virzienā (a) - tika atklātas pretrunas (skaistākā no tām ir t.s. Rasela paradokss). Pēc tam aksiomas tika koriģētas, izveidojot t.s. Cermelo-Frenkela kopu teoriju (ZFC), bet atklājās situācija (b) - izrādās, ka uzlabotās aksiomas nespēj atrisināt slaveno t.s. kontinuuma problēmu (sk. tālāk).

Ko darīt?

Ja mums minētā perspektīva liekas nepieņemama, tad šajā ainā var ieraudzīt tieši 3 atkāpšanās ceļus:

1) Samazināsim savas pretenzijas un nebūvēsim universālu teoriju.

2) Atteiksimies savu teoriju precīzi formulēt.

3) Formulēsim teoriju precīzi, bet nepaliksim pie šī formulējuma uz visiem laikiem - mainīsim to, ja vajadzēs.

Pirmais ceļš ir katra paša izvēle.

Vai otrais ceļš nepadarīs mūs smieklīgus?

Trešais ceļš ir modernās zinātnes ceļš: modelējam, bet netaisām no saviem modeļiem fetišus. All models are wrong, but some are useful. (George E. P. Box)

No praktiskā viedokļa raugoties

No praktiskā viedokļa raugoties, Gēdela teorēma izsaka tikai vispārīgu, bet ļoti noteiktu pareģojumu. Bet šis pareģojums jau ir daudzkārt apstiprinājies matemātiķu praksē, sākot ar 1963.gadu, kad Pols Koens^MacTutor pierādīja, ka kopu teorijas aksiomas (ja vien tās nesatur pretrunas) nespēj atrisināt slaveno kontinuuma problēmu^Wikipedia.

Kopu teorijas izgudrotājs Georgs Kantors^MacTutor aizdomājās līdz šai problēmai 1878.gadā: vai uz taisnes eksistē punktu kopa, kurā ir vairāk punktu nekā naturālo skaitļu, bet mazāk nekā visas taisnes punktu? Kantors izvirzīja hipotēzi, ka šāda kopa nevar eksistēt. Ne viņam, ne viņa sekotājiem neizdevās šo hipotēzi pierādīt. Tagad mēs zinām, kāpēc tas tā: balstoties uz kopu teorijas aksiomām, šo hipotēzi tiešām nevar ne pierādīt, ne apgāzt.

Vairāk par šiem praktiskajiem apstiprinājumiem sk.:
List of statements undecidable in ZFC^Wikipedia

Kā redzat, šie secinājumi stipri atšķiras no daudzajām dīvainībām, ko par Gēdela teorēmu var izlasīt... gandrīz visur (par matemātiskām "patiesībām", ko nevar izvest no aksiomām, par cilvēka prāta pārākumu pār datoriem utt.).