 This work is
licensed under a Creative Commons
License and is copyrighted
© 2009 by me, Karlis Podnieks. |
 |
1873.gads:
Georg Cantor
(1845-1918)
28 gadu vecumā izgudro
bezgalīgo kopu teoriju.
Attēls no: MacTutor History of Mathematics archive
- Cantor Portraits
|
| Kantora bezgalīgo kopu
teorijā 19.gs. matemātiskās domāšanas principi ir
attīstīti līdz to galējai robežai. Tālāk vairs
nebija kur iet, jo visu matemātiku varēja atveidot,
balstoties uz vienu vienīgu aksiomu: Kantora atlases aksioma. Ja
mums ir kāds princips, kas vienus objektus atšķir no
citiem, tad visi tie objekti, kam princips izpildās,
veido kopu, kas arī ir uzskatāma par objektu.
"Visu matemātiku var " - tas
nozīmē, kas visas matemātiskās struktūras
(skaitļus, funkcijas, telpas utt.) var modelēt kopu
jēdzienos, un pēc tam visas matemātikas teorēmas var
izvest no Kantora aksiomas.
|
 |
1895. gads:
Georg Cantor
(1845-1918)
50 gadu vecumā
konstatē, ka viņa teorijā ir pretrunas!
Attēls no: MacTutor History of Mathematics archive
- Cantor Portraits
|
| Skatoties uz Kantora
aksiomu, nevienam nenāk prātā, ka te varētu būt
"paslēpts kāds āķītis" - tik dabiska un
neapšaubāma tā liekas! Un
tomēr...
Rasela paradokss.
Aplūkosim šādu atlases principu: "objekts
nepieder pats sev kā sastāvdaļa". Saskaņā ar
Kantora atlases aksiomu, visi šādi objekti veido kopu,
kas arī ir objekts. Apzīmēsim šo objektu ar R.
Vai R pieder pats sev kā sastāvdaļa?
Vai nu pieder, vai nepieder...
1. Ja pieder, tad tam izpildās
princips "objekts nepieder pats sev kā
sastāvdaļa". Pretruna.
2. Ja nepieder, tad tam izpildās
princips "objekts nepieder pats sev kā
sastāvdaļa", t.i. R pieder R. Atkal pretruna.
Tik vien kā šīs dažas rindiņas ir
vajadzīgas, lai parādītu, ka "neapšaubāmā
aksioma" satur pretrunu!
Piezīme. Rasela
paradoksu nevajag censties izprast pārāk
"dziļi". Tas var radīt veselības problēmas.
|
 Attēls
no: MacTutor History of Mathematics archive
- Hilbert Portraits |
1900.gads:
David Hilbert
(1862-1943)
38 gadu vecumā formulē
uzdevumu: "iztīrīt" matemātikas pamatus un pierādīt,
ka pretrunas matemātikā vairs nav
iespējamas.
|
| Un pierādīt, ka
"iztīrītās" matemātikas aksiomas spēj
atrisināt jebkuru matemātisku problēmu. Arī tās,
kuras nav atrisinātas jau simtiem gadu... Piemēram, šīm aksiomām jābūt pietiekamām,
lai pierādītu Johannes Kepler
1611.gadā izteikto hipotēzi, ka labākais veids, kā
telpā sakārtot vienādus apelsīnus, ir
"piramidālais princips", ko tirgus
pārdevējas izmanto, par matemātiku nemaz
nedomādamas...
Tikai 1998.gadā amerikāņu
matemātiķu grupai Thomas Hales
vadībā, izdevās šo hipotēzi pierādīt,
nostrādājot 6 gadus un izmantojot ļoti apjomīgus
aprēķinus ar datoru palīdzību.
Tātād Hilbertam bija taisnība? Un
katra matemātiska problēma ar laiku tiks atrisināta,
balstoties uz reizi par visām reizēm noformulētām
"pareizajām" matemātikas aksiomām?
|
 Attēls
no: MacTutor History of Mathematics archive
- Hilbert Portraits |
1931.gads:
David Hilbert
(1862-1943)
69 gadu vecumā uzzina,
ka viņa iecerētā matemātikas
"perestroika" tomēr nav realizējama!
|
| Kurta Gēdela
nepilnības teorēma. Lai arī kādu
matemātikas aksiomu sistēmu mēs neuzbūvētu,
neizbēgami notiks viens no diviem: vai nu no šim
aksiomām tiks izvestas pretrunas, vai arī tās nebūs
spējīgas atrisināt daudzas daudzas matemātiskas
problēmas. Kurt Gödel
pierādīja šo teorēmu Vīnē, 1930.gada vasarā (24
gadu vecumā), un viņš pirmoreiz pavēstīja par to
saviem kolēģiem otrdien, 26.augustā Vīnes kafejnīcā
Reichsrat:
Attēls no lieliskās galerijas, ko publicē
BVI.
Vairāk par šī pagrieziena punkta
hronoloģiju cilvēces intelektuālajā vēsturē - šeit.
Jāsecina, ka
|
Matemātika
ir daudz "jautrāka"
nodarbošanās nekā varēja domāt
pirms 1930.gada! Mums, matemātiķiem jānodarbojas ne
tikai ar teorēmu pieradīšanu, balstoties uz vienreiz
par visām reizēm vispāratzītām matemātikas
aksiomām.
Mēs ne tikai drīkstam - mūsu
pienākums ir eksperimentēt ar dažādiem
aksiomu variantiem. Citādi daudzas
matemātiskas problēmas paliks neatrisinātas.
Bet līdz ar to matemātikā ienāk
neierastas lietas: eksperimentējot ar aksiomām,
mēs riskējam! Nav garantijas, ka mūsu
izvēlētais aksiomu variants nenovedīs pie pretrunām.
Ja tā notiks, mums atkal nāksies aksiomas izvērtēt un
mainīt.
Vai tagad ar matemātiku viss
ir kārtībā? Spriediet paši...
|
Vai
cilvēka prāts ir pārāks par datoru?
Ir cilvēki, kuri apgalvo, ka no
Gēdela teorēmas seko, ka "ir pārāks". Mana
atbilde: varbūt, ka ir pārāks, bet no Gēdela
teorēmas tas gan neseko.
|
Ja
vēlaties uzzināt vairāk - sk. manu mini-lekciju
Gēdela teorēma 15 minūtēs
(latviski, krieviski, angliski)
un manas 3 lekcijas Kas
ir matemātika
(latviski, krieviski, angliski).
|
